Cálculo de Probabilidade

Probabilidade é o estudo das possibilidades de algo ocorrer ou não.


Experimento

Chama-se  experimento  uma experiência realizada ao acaso (aleatória),
para a obtenção de alguma observação de seus resultados.

Exemplos:
No lançamento de uma moeda,  observar a face voltada para cima.
Retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe.


Espaço Amostral (S)  ou  (Ω)

O  espaço amostral  é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

Exemplos:
①  No lançamento de uma moeda,  observar a face voltada para cima,  pode ocorrer:
S  =  Ω  =  { cara,  coroa }

cara  cara

②  Retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe,  pode ocorrer:
S  =  Ω  =  { copas,  ouros,  paus,  espadas }  =  { ,  ,  ,   }

③  Num lançamento de um dado,  observar a face voltada para cima,  pode ocorrer:

S  =  Ω  =  { 1,  2,  3,  4,  5,  6 }

dado


Evento (E)

Qualquer subconjunto do espaço amostral é dito  evento.

Exemplos:
No lançamento de uma moeda,  observar a face voltada para cima.
E  =  { sair cara }

Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe.
E  =  { a carta é de espadas }


Evento certo

Evento certo é aquele que possui todos os elementos do espaço amostral.

Exemplo:
Num lançamento de um dado,  a face voltada para cima ser um número menor do que  9.
E  =  { 1,  2,  3,  4,  5,  6 }


Evento impossível

Evento impossível ou improvável é aquele que não possui elementos do espaço amostral.

Exemplo:
Num lançamento de um dado,  a face voltada para cima ser um número maior do que  9.
E  =  Ø


Probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então:
a probabilidade de ocorrer um evento  E  é:
P(E)  =  n(E) / n(S)  =  n(E)/n(S)

Onde  n(E)  é o número de elementos do evento  E,  e, 
n(S)  é o número de elementos do espaço amostral.

Exemplo:
Num lançamento de um dado,  qual a probabilidade de sair um número primo?

O espaço amostral é:
S  =  Ω  =  { 1,  2,  3,  4,  5,  6 }

O evento é:
E  =  { 2,  3,  5 }

n(E)  =  3   (número de elementos do evento)
n(Ω)  =  n(S)  =  6   (número de elementos do espaço amostral)

Daí:
P(E)  =  n(E)/n(S)
P(E)  =  3/6
P(E)  =  1/2


Não é necessário saber quais são os elementos do espaço amostral,  mas sim  quantos  são.


Propriedades

Seja  A  um evento  e  S  o espaço amostral,  assim sempre se tem:

①  A probabilidade do evento é um número entre  "0"  e  "1":
   0  ≤  P(A)  ≤  1

②  A probabilidade do evento impossível é  "0"  (zero):
   P(Ø) =  0

③  A probabilidade do espaço amostral é  "1"  (um):
   P(Ω)  =  1

④  A probabilidade do complementar do evento é  "1  menos a probabilidade do evento":
   P(A)  =  1  −  P(A)


Exemplo da utilidade do evento complementar

No lançamento de dois dados,  qual a probabilidade de:
não sair o número  5  em nenhum deles?

Pelo princípio fundamental da contagem se tem:
6  possibilidades para o  primeiro  dado  e  6  possibilidades para o  segundo,  assim:
6  .  6  =  36  possibilidades no total   (número de elementos do espaço amostral)

É mais fácil contar os casos em que sai o número  5.

Seja o evento  E  =  {sair o número cinco em um dos dois dados}

E  =  { (1,  5);  (5,  1);  (2,  5);  (5,  2);  (3,  5);  (5,  3);  (4,  5);  (5,  4);  (5,  5);  (6,  5);  (5,  6) }

P(E)  =  n(E)/n(S)
P(E)  =  11/36

Assim,  o complementar do evento  E  é  não sair o número  5.

P(E)  =  1  −  P(E)
P(E)  =  1  –  11/36  =  25/36


Probabilidade da união de dois eventos

Se  A  e  B  são eventos quaisquer de um espaço amostral,
o número de elementos da ocorrência de  A  "ou"  B  é dado por:
n(A  ∪  B)

O número de elementos da ocorrência de  A  "e"  B  é dado por:
n(A  ∩  B)

A probabilidade da ocorrência de  A  união  B  é dada por:
P(A  ∪  B)  =  P(A)  +  P(B)  −  P(A ∩ B)

Exemplo:
Num lançamento de um dado,  qual a probabilidade de:
sair um número primo  ou  um número par?

O espaço amostral  é:
Ω  =  { 1,  2,  3,  4,  5,  6 }
n(Ω)  =  6

Supondo o evento  A  =  {sair um número primo}
A  =  { 2,  3,  5 }
n(A)  =  3

Supondo o evento  B  =  {sair um número par}
B  =  { 2,  4,  6 }
n(B)  =  3

Os elementos comuns ao dois eventos é a intersecção:
A  ∩  B  =  { 2 }
n(A  ∩  B)  =  1

Daí:
P(A  ∪  B)  =  P(A)  +  P(B)  −  P(A ∩ B)
P(A  ∪  B)  =  3/6  +  3/6  −  1/6
P(A  ∪  B)  =  5/6


Eventos mutuamente excludentes

Dois eventos  A  e  B  são ditos  mutuamente excludentes  ou  exclusivos se,
a ocorrência de um impede a ocorrência do outro.

Neste caso,  A  ∩  B  =  Ø,  então:
P(A  ∪  B)  =  P(A)  +  P(B)

Exemplo:
Num lançamento de um dado,  seja os eventos:
A  =  {sair um número par}  e  B  =  {sair o número  5}

Logo,  se o evento  A  ocorrer impede a ocorrência de  B.
Se sair um número par,  o evento  B  não pode correr.

Assim tem-se:
Ω  =  { 1,  2,  3,  4,  5,  6 };   A  =  { 2,  4,  6 }   e  B  =  { 5 }

n(Ω)  =  6   n(A)  =  3   n(B)  =  1

P(A)  =  3/6  =  1/2  e  P(B)  =  1/6
P(A  ∪  B)  =  1/2  +  1/6
P(A  ∪  B)  =  3/6  +  1/6
P(A  ∪  B)  =  4/6
P(A  ∪  B)  =  2/3


Probabilidade condicional

Há situações em que se quer encontrar:
a probabilidade de um evento ocorrer sabendo que outro evento ocorreu.

Assim,  o espaço amostral para o segundo evento será reduzido ao evento que ocorreu.

A probabilidade da ocorrência do evento  B  sabendo que o evento  A  ocorreu é:
P(B|A),  e é chamada de  probabilidade condicional  ou  condicionada.

Se um evento  A  ocorreu,  a probabilidade de outro evento  B  ocorrer,
sabendo da ocorrência de  A  (onde  P(A)  >  0)  é  dada por:
P(B|A)  =  n(A  ∩  B) / n(A)  =  n(AeB)/n(A)  ou,
P(B|A)  =  P(A  ∩  B) / P(A)  =  P(AeB)/P(A)

Exemplo:
Lança-se dois dados,  sabendo que a soma dos dois resultados foi  6,
qual a probabilidade de ter saído o número  2  em um deles?

A princípio o número de elementos do espaço amostral é  n(S)  =  36.

Mas como se sabe que a soma é  6,  fica reduzido ao  n(A).

Sendo:
A  =  { a soma dos dois é seis }
B  =  { sair o número dois em um deles }

A   =  { (1,  5);  (5,  1);  (2,  4);  (4,  2);  (3,  3) }
Logo,   n(A)  =  5

A  ∩  B  é  o conjunto formado pelos pares de elementos onde,
a soma é  6  e  um dos elementos é o  2.

A  ∩  B  =  { (2,  4);  (4,  2) }
Logo,   n(A  ∩  B)  =  2

Daí,  a probabilidade de sair um  2  sabendo que a soma é  6  é:
P(B|A)  =  n(AeB)/n(A)
P(B|A)  =  2/5


Utilizando as probabilidades
P(B|A)  =  P(AeB)/P(A)
P(A  ∩  B)  =  2/36
P(A)  =  5/36

P(B|A)  =  2/36  :  5/36  =  2/36    36/5  =  2/5


Regra da multiplicação

Sendo   P(B|A)  =  P(AeB)/P(A)

Então:
P(A  ∩  B)  =  P(B|A)  ⋅  P(A)


Sendo   P(A|B)  =  P(AeB)/P(A)

Então:
P(A  ∩  B)  =  P(A|B)  ⋅  P(B)


Exemplo:
Num saco há dois pares de meias brancas e um par de meia cinza,
uma meia é retirada ao acaso e não reposta e em seguida outra meia é retirada.
Qual a probabilidade de se ter tirado um par de meia branca?

Considerando os eventos:
A  =  {a primeira meia é branca}
B  =  {a segunda meia é branca}

Ω  =  {branca,  branca,  branca,  branca,  cinza,  cinza}
P(A)  =  4/6  =  2/3

Sabendo que saiu uma branca sem ser recolocada então no saco fica:
{branca,  branca,  branca,  cinza,  cinza}

P(B|A)  =  3/5

A probabilidade da primeira ser branca  e  a segunda ser branca é dada por:
P(A  ∩  B)  =  P(B|A)  ⋅  P(A)
P(A  ∩  B)  =  3/5  ⋅  2/3  =  2/5


Propriedades

①  A probabilidade da ocorrência do evento  B  sabendo que:
   o evento  A  ocorreu é um número entre  "0"  e  "1".
0  ≤  P(B|A)  ≤  1

②  A probabilidade da ocorrência do espaço amostral  Ω  sabendo que:
   o evento  A  ocorreu  é  "1"  (um).
P(Ω|A)  =  1

③  Se a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio,
   a probabilidade da união deles dado a ocorrência de um terceiro é igual,
   a soma das probabilidades de cada um dado a ocorrência deste terceiro.
   Se  B1  ∩  B2  =  Ø   então:
  P(B1  ∪  B2|A)  =  P(B1|A)  +  P(B2|A)


Eventos independentes

Dois eventos  A  e  B  são ditos  independentes  se:
o fato de  A  ter ocorrido não tem qualquer efeito sobre a ocorrência de  B.
Neste caso,   P(B|A)  =  P(B)

Sendo  A  e  B  eventos independentes,  a probabilidade de:
ocorrer  A  e  B,  nesta ordem,  é:
P(A  ∩  B)  =  P(A)  ⋅  P(B)

Exemplo:
No lançamento de dois dados,  qual a probabilidade de sair  2  no  1º  e  3  no  2º?

Considerando  A  =  { sair dois no primeiro }  e  B  =  { sair três no segundo }

O fato de sair  2  no  1º  em nada influi em sair  3  no  2º,  logo são independentes.

P(A  ∩  B)  =  P(A)  ⋅  P(B)
P(A  ∩  B)  =  1/6    1/6  =  1/36


Generalizando

De uma forma geral,  se os eventos  A1,  A2, . . . ,  An  são independentes,  então:
P(A1  ∩  A2  ∩  A3  ∩  .  .  .  ∩  An)  =  P(A1)  ⋅  P(A2)  ⋅  P(A3)  ⋅  .  .  .  ⋅  P(An)


Teorema da probabilidade total

Sejam os eventos  E1, E2, E3, . . . ,  En,  disjuntos dois a dois e que:
formam uma partição do espaço amostral, isto é,
E1  ∪  E2  ∪  E3  ∪  .  .  .  ∪  En  =  Ω  onde  P(Ei)  >  0,  para todo  1  ≤  i  ≤  n.

Então,  para qualquer evento  B  se tem:
P(B)  =  P(E1  ∩  B)  +  P(E2  ∩  B)  +  .  .  .  +  P(En  ∩  B)
P(B)  =  P(E1)  ⋅  P(B|E1)  +  P(E2)  ⋅  P(B|E2)  +  .  .  .  +  P(En)  ⋅  P(B|En)

P(B)  =    P(Ei  ∩  B)  =    P(Ei)  ⋅  P(B|Ei)   ( i  =  1,  2, . . . ,  n)


Exemplo:
Uma pessoa entra numa loja de venda de celulares onde,
a metade é da marca  X,  um terço da marca  Y  e o restante da marca  W.
Suponha que a probablidade dessa pessoa comprar um celular da marca  X  seja de  0,4,
de comprar da marca  Y  seja de  0,2  e  da marca  W  seja de  0,5.
Essa pessoa seleciona aleatoriamente um celular para testá-lo.
Qual é a probabilidade dela compará-lo?

Considere  Ai  eventos de marca de celulares  "i"  então:
A1  =  { marca  X }
A2  =  { marca  Y }
A3  =  { marca  W }

Então:
P(A1)  =  1/2   (metade da marca  X)
P(A2)  =  1/3   (um terço da marca  Y)
P(A3)  =  1/6   (restante da marca  W)

Seja o evento  B  comprar o celular,  então:
P(B|A1)  =  0,4  =  4/10  =  2/5
P(B|A2)  =  0,2  =  2/10  =  1/5
P(B|A3)  =  0,5  =  5/10  =  1/2

P(B)  =  P(A1)  ⋅  P(B|A1)  +  P(A2)  ⋅  P(B|A2)  +  P(A3)  ⋅  P(B|A3)
P(B)  =  1/2  ⋅  2/5  +  1/3  ⋅  1/5  +  1/6  ⋅  1/2
P(B)  =  2/10  +  1/15  +  1/12
P(B)  =  12+4+5/60
P(B)  =  21/60
P(B)  =  7/20  =  0,35  =  35%


Teorema de Bayes

Sejam   E1, E2, E3, . . . ,  En   eventos  mutuamente excludentes  e,
seja  A  um evento qualquer tal que  P(A)  >  0,  tem-se então:
P(Ei|A)  =  Teorema  =  Teorema


Exemplo:
Considerando o  exemplo  anterior.
Suponha que a pessoa escolheu um e comprou.
Qual a probabilidade dela ter escolhido o da marca  X?

Ser da marca  X  é  o evento  A1
Comprar o celular  é  o evento  B

A probabilidade de ter escolhido o da marca  X  sabendo que ele comprou  é  P(A1|B)
P(A1|B)  =  Teorema

Mas o somatório:
 P(B|Ai)  ⋅  P(Ai)  =  P(B)  =  7/20

Logo:
P(A1|B)  =  P(B|A1)  ⋅  P(A1)  :  P(B)

P(A1|B)  =  ( 2/5  ⋅  1/2 )  :  7/20
P(A1|B)  =  2/10  :  7/20
P(A1|B)  =  2/10  ⋅  20/7
P(A1|B)  =  4/7
P(A1|B)  ≅  0,5714  ≅  57,14%


Exercícios Resolvidos

R01 — No lançamento de dado qual a probabilidade de sair um número maior do que  4?

Seja o evento  A  =  {número maior do que 4}
A  =  { 5, 6 }   n(A)  =  2 

O espaço amostral é  S  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
n(S)  =  6

P(A)  =  n(A)/n(S)
P(A)  =  2/6  =  1/3


R02 — Quatro moedas são lançadas simultaneamente.
Qual a probabilidade de caírem com a face voltada para cima quantidades iguais de cara e de coroa?

Não é necessário encontrar o espaço amostral,  mas sim a quandidade de elementos dele.

Há sempre duas possibilidades,  cara (C)  ou  coroa (K),  assim:

n(Ω)  =  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  =  24  =  16  (princípio fundamental da contagem)

Seja o evento  B  =  {número de caras igual ao número de coroas}

B  =  { (C,  C,  K,  K);  (C,  K,  C,  K);  (C,  K,  K,  C);  (K,  C,  C,  K);  (K,  C,  K,  C);  (K,  K,  C,  C) }
n(B)  =  6

P(B)  =  6/16  =  3/8


R03 — Em uma urna há  20  bolas numeradas de  1  a  20,  retira-se ao acaso uma bola.
Qual a probabilidade do número dela ser um múltiplo de  2  ou  de  3?

Seja os eventos
A  =  { múltiplo de  2 }  =  { 2,  4,  6,  8,  10,  12,  14,  16,  18,  20 }
B  =  { múltiplo de  3 }  =  { 3,  6,  9,  12,  15,  18 }
A  ∩  B  =  { 6,  12,  18 }

logo,   n(A)  =  10  e  n(B)  =  6

O número de elementos de  A  e  B  é   n(A  ∩  B)  =  3
P(A)  =  10/20
P(B)  =  6/20

P(A  ∩  B)  =  3/20

A probabilidade de ocorrer  A  ou  B  é dada por:

P(A  ∪  B)  =  P(A)  +  P(B)  –  P(A  ∩  B)

P(A  ∪  B)  =  10/20  +  6/20  –  3/20  =  13/20

Neste caso em particular,  não há necessidade de se resolver desta maneira,
pois dava para encontrar a união:
A  ∪  B  =  {2,  3,  4,  6,  8,  9,  10,  12,  14,  15,  16,  18,  20}
n(A  ∪  B)  =  13

P(A  ∪  B)  =  P(AeB)/P(A)
P(A  ∪  B)  =  13/20


R04 — Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição.
Qual a probabilidade de ambas serem de  COPAS  ou  ESPADAS?

Um baralho tem  13  cartas de cada um dos quatro naipes,  portanto  52 cartas.

Ω  =  {duas cartas retiradas de um baralho}

n(Ω)  é dado por:
A52,2  =  52  ⋅  51  =  2652  (arranjo simples de  52  dois a dois)

Evento  A  =  {ambas serem de copas}

n(A)  é  dado por:
A13,2  =  13  ⋅  12  =  156

Evento  B  =  {ambas serem de espadas}

n(B)  é  dado por:
A13,2  =  13  ⋅  12  =  156

A ∩ B  =  Ø

A probabilidade de ocorrer  A  ou  B  é dada por:

P(A ∪ B)  =  156/2652  +  156/2652

P(A ∪ B)  ≅  0,0588  +  0,0588

P(A ∪ B)  ≅  0,1176

P(A ∪ B)  ≅  11,76%


Observação:
Se o problema fosse com reposição:

n(Ω)  =  AR52,2  =  522   (arranjo com repetição)
n(A)  =  n(B)  =  AR13,2  =  132


R05 — Uma nota é retirada aleatoriamente de uma gaveta contendo:
quatro notas de  R$ 2,00,  seis de  R$ 5,00,  duas de  R$ 10,00  e  oito de  R$ 20,00.
Qual a probabilidade dela não ser de  R$ 10,00?

O total de notas  é  o número de elementos do espaço amostral.
n(Ω)  =  4  +  6  +  2  +  8  =  20

Seja  E  =  {a nota não é de dez reais}

Então  ou  ela é de  R$ 2,00  (tem  4)  ou  de  R$ 5,00  (tem  6)  ou  de  R$ 20,00  (tem  8)

Sejam os eventos:
A  =  {a nota é de dois reais}
B  =  {a nota é de cinco reais}
C  =  {a nota é de vinte reais}

P(A)  =  4/20
P(B)  =  6/20
P(C)  =  8/20

Os eventos são mutuamente excludentes,  isto é,  não há elementos nas intersecções.

P(E)  =  P(A  ∪  B  ∪  C)  =  P(A)  +  P(B)  +  P(C)
P(E)  =  4/20  +  6/20  +  8/20
P(E)  =  18/20  =  9/10  =  0,9  =  90%


Este problema pode ser resolvido pelo complementar do evento:
E  =  {a nota é de dez reais}

P(E)  =  2/20  =  1/10

P(E)  =  1  −  P(E)
P(E)  =  1  −  1/10
P(E)  =  9/10  =  0,9  =  90%


R06 — Três palestrantes serão sorteados dentre os cinco argentinos,
três brasileiros  e  dois colombianos presentes.
Qual a probabilidade de pelo menos um dos palestrantes ser brasileiro?

O nº de maneiras para se saber os sorteados é o nº de elementos do espaço amostral.
n(Ω)  =  C10,3  =  10.9.8/3!  =  120   (combinação simples de  10  três a três)

Seja  A  =  {pelo menos um sorteado ser brasileiro}

Como há três brasileiros,  então poderia se ter:
um,  dois  ou  três brasileiros.

Situação 1
Para o caso de um brasileiro os outros dois seriam:
argentinos,  colombianos  ou  um de cada  (para completar os três sorteados).

Situação 2
Para o caso de dois brasileiros o outro seria:
argentino  ou  colombiano  (para completar os três sorteados).

Situação 3
Para o caso dos três serem brasileiros já se teria todos os sorteados.

Assim,  as situações seriam:
Situação 1
um brasileiro e dois argentinos  ou  um brasileiro e dois colombianos  ou,
um brasileiro,  um argentino  e  um colombiano.
C3,1  ⋅  C5,2   +   C3,1  ⋅  C2,2   +   C3,1  ⋅  C5,1  ⋅  C2,1

Situação 2
dois brasileiros e um argentino  ou  dois brasileiros e um colombiano.
C3,2  ⋅  C5,1   +   C3,2  ⋅  C2,1

Situação 3
três brasileiros.
C3,3

n(A)  =  C3,1 ⋅ C5,2  +  C3,1 ⋅ C2,2  +  C3,1 ⋅ C5,1 ⋅ C2,1  +  C3,2 ⋅ C5,1  +  C3,2C2,1  +  C3,3
n(A)  =  3  ⋅  10   +   3  ⋅  1   +   3  ⋅  5  ⋅  2   +   3  ⋅  5   +   3  ⋅  2   +    1
n(A)  =  30   +   3   +   30   +   15   +   6   +    1
n(A)  =  85

P(A)  =  85/120  =  17/24  ≅  0,7083


Este é mais um problema em que usar o complementar do evento simplifica o cálculo.
A  =  {nenhum brasileiro}

Há apenas três casos:
os três são argentinos  ou  dois argentinos e um colombiano,
ou  um argentino e dois colombianos.

três argentinos:
C5,3

dois argentinos e um colombiano:
C5,2  ⋅  C2,1

um argentino de dois colombianos:
C5,1  ⋅  C2,2

n(A)  =  C5,3  +  C5,2  ⋅  C2,1  +  C5,1  ⋅  C2,2
n(A)  =  10   +   10  ⋅  2   +   5  ⋅  1
n(A)  =  10   +   20   +   5
n(A)  =  35

P(A)  =  35/120

P(A)  =  1  –  P(A)
P(A)  =  1  –  35/120
P(A)  =  85/120  =  17/24  ≅  0,7083


R07 — Em uma sacola há fichas numeradas de  1  a  10,
retira-se duas sucessivamente e sem reposição.
Qual a probabilidade do número de:
uma ser um múltiplo de  2  e  da outra um múltiplo de  3,  nesta ordem?

O número total de fichas é o número de elementos do espaço amostral.
n(Ω)  =  10

Sejam os eventos:
A  =  {o número da primeira ficha é um múltiplo de dois}
B  =  {o número da segunda ficha é um múltiplo de três}

A  =  {2,  4,  6,  8,  10}
B  =  {3,  6,  9}

P(A)  =  5/10  =  1/2
P(B)  =  3/10

São eventos independentes,  pois a ocorrência de  A  não interfere na ocorrência de  B.
P(A  ∩  B)  =  P(A)  ⋅  P(B)
P(A  ∩  B)  =  1/2  ⋅  3/10  =  3/20  =  0,15  =  15%


R08 — Um dado foi fabricado de tal forma que ao ser lançado,
a probabilidade de ocorrer um número par é o dobro da de ocorrer número ímpar.
Sabendo que os três números pares ocorrem com igual probabilidade,
assim como os três ímpares.
Determine a probabilidade de ocorrência de:
a) sair um número par
b) sair o número 2 ou o número 3

O espaço amostral é:
Ω  =  {1,  2,  3,  4,  5,  6}

Sejam os eventos mutuamente exclusivos:
A  =  {sair o número um}
B  =  {sair o número dois}
C  =  {sair o número três}
D  =  {sair o número quatro}
E  =  {sair o número cinco}
F  =  {sair o número seis}

Pelo enunciado tem-se que:
P(B)  =  P(D)  =  P(F)   e   P(A)  =  P(C)  =  P(E)

Chamando a probabilidade de sair um número ímpar de  x,  dessa forma tem-se:
P(A)  =  P(C)  =  P(E)  =  x,  então:
P(B)  =  P(D)  =  P(F)  =  2x   (a probabilidade do par é o dobro do ímpar)

A probabilidade do espaço amostral ocorrer é  1,  assim:
P(Ω)  =  P(A)  +  P(B)  +  P(C)  +  P(D)  +  P(E)  +  P(F)  =  1

x  +  2x  +  x  +  2x  +  x  +  2x  =  1
9x  =  1
x  =  1/9

Daí, a probabilidade de:
P(A)  =  P(C)  =  P(E)  =  1/9
P(B)  =  P(D)  =  P(F)  =  2/9

a) A probabilidade de sair um número par é:
dada pela probabilidade da união dos eventos   B,  D  e  F
P(B  ∪  D  ∪  F)  =  P(B)  +  P(D)  +  P(F)  =  2/9  +  2/9  +  2/9  =  6/9  =  2/3

b) A probabilidade de sair o número dois ou o número três é:
dada pela probabilidade da união dos eventos  B  e  C
P(B  ∪  C)  =  P(B)  +  P(C)  =  2/9  +  1/9  =  3/9  =  1/3


Fazendo-se de outra maneira

Sejam os eventos:
A  =  { o número é par }
B  =  { o número é ímpar }

Como   A  ∩  B =  Ø,  então:
P(A  ∪  B)  =  P(A)  +  P(B)  =  1

Se sabe que a probabilidade de ocorrer:
um número par é o dobro da de ocorrer um número ímpar
P(A)  =  2  ⋅  P(B)   então:
2  ⋅  P(B)  +  P(B)  =  1
3  ⋅  P(B)  =  1
P(B)  =  1/3

a) P(A)  =  2  ⋅  P(B)  =  2  ⋅  1/3  =  2/3

b)  P(1  ∪  3  ∪  5 )  =  P(1)  +  P(3)  +  P(5)  =  1/3

P(1)  =  P(3)  =  P(5)   (probabilidade dos ímpares são iguais)

Assim,  em:
P(1)  +  P(3)  +  P(5)  =  1/3
P(3)  +  P(3)  +  P(3)  =  1/3
3  ⋅  P(3)  =  1/3
P(3)  =  1/9

P(2)  =  P(4)  =  P(6)  =  2/9

P(2  ∪  3)  =  P(2)  +  P(3)  =  2/9  +  1/9  =  3/9  = 1/3


R09 — Uma determinada peça é manufaturada por três máquinas:  A,  B  e  C.
Sabe-se que  A  produz o dobro de peças de  B  e  que  B  e  C  produzem o mesmo nº de peças.
Sabe-se ainda que  2%  das peças produzidas por  A  e  por  B  são defeituosas,
enquanto que  4%  das produzidas por  C  são defeituosas.
Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito.
Se do depósito for retirada uma peça ao acaso,  qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

Considerando os seguintes eventos:
D = { a peça é defeituosa }
A = { a peça é da máquina  A }
B = { a peça é da máquina  B }
C = { a peça é da máquina  C }

Sabe-se que:
P(A)  =  1/2  =  0,5
P(B)  =  1/4  =  0,25
P(C)  =  1/4  =  0,25

Sabe-se também que:
P(D|A)  =  P(D|B)  =  2%  =  2/100  =  0,02
P(D|C)  =  4%  =  4/100  =  0,04

Logo,  tem-se:
P(D)  =  P(A)  ⋅  P(D|A)   +   P(B)  ⋅  P(D|B)   +   P(C)  ⋅  P(D|C)
P(D)  =  0,5  ⋅  0,02   +   0,25  ⋅  0,02   +   0,25  ⋅  0,04
P(D)  =  0,01   +   0,005   +   0,01
P(D)  =  0,025
P(D)  =  2,50%


R10 — Em uma linha de produção de uma certa fábrica,  determinada peça é produzida em duas máquinas.
A máquina  1,  mais antiga,  é responsável por  35%  da produção e os  65%  restantes vêm da máquina  2.
A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas,  estima-se em:
5%  a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina  1,  e,
em  2,5%  a proporção de defeituosas produzidas pela máquina  2.
As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem,
para venda posterior,  sem distinção de qual máquina a produziu.
Se um cliente identifica uma peça defeituosa.  
Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina  2?

Sejam os eventos:
D  =  {a peça é defeituosa}
M1  =  {produção da máquina  1}
M2  =  {produção da máquina  2}

P(M1)  =  35%  =  0,35
P(M2)  =  65%  =  0,65
P(D|M1)  =  5%  =  0,05
P(D|M2)  =  2,5%  =  0,025

Deseja-se encontrar   P(M2|D),  logo:

Pelo teorema de Bayes:
P(M2|D)  =  P(D|M2)  ⋅  P(M2) / P(D)

P(D)  =  P(D|M1)  ⋅  P(M1)   +   P(D|M2)  ⋅  P(M2)
P(D)  =  0,05  ⋅  0,35  +  0,025  ⋅  0,65
P(D)  =  0,0175  +  0,01625
P(D)  =  0,03375

P(M2|D)  =  [ P(D|M2)  ⋅  P(M2) ]  /  P(D)

P(M2|D)  =  [ 0,025  ⋅  0,65 ] / 0,03375
P(M2|D)  =  0,01625 / 0,03375
P(M2|D) =  0,4815 =  48,15%


Exercícios Propostos

P01 — Um número natural é escolhida ao acaso entre  1  e  100.
Qual a probabilidade dele não se múltiplo de  5?


P02 — Calcule a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida,
onde as suas "chances",  segundo os entendidos,  são de "3 para 2".
Calcule também a probabilidade dele perder.


P03 — No lançamento dois dados.  Calcule a probabilidade de ocorrer a soma  7.


P04 — Uma urna contém  10 bolas vermelhas,  6 bolas amarelas e  9 bolas pretas.
Uma bola da urna é escolhida ao acaso e verifica-se que não é preta.
Qual a probabilidade de ser amarela?


P05 — Escolhe ao acaso um número natural entre  11  e  951.
Qual a probabilidade dele ser um múltiplo de  3  ou de  5?


P06 — Seja  S  =  {a,  b,  c,  d}.  Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades:
P(a)  =  1/8;  P(b)  =  1/8;  P(c)  =  1/4  e  P(d)  =  x.  Calcule o valor de  x.


P07 — No lançamento de  3  moedas.  Qual a probabilidade de:
a)  ocorrerem duas caras?
b)  ocorrer pelo menos uma cara?


P08 — Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre  1  e  50.
Qual a probabilidade de:
a)  o número ser divisível por  5?    b)  ser divisível por  2  ou  3?


P09 — Uma urna  A  contém  4 bolas:  2 brancas  e  2 pretas;
uma urna  B  contém  5 bolas,  3 brancas  e  2  pretas.
Uma bola é transferida de  A  para  B.
Uma bola é retirada de  B  e verifica-se ser branca.
Qual a probabilidade de que a bola transferida ter sido branca?


P10 — As probabilidades de três jogadores marcarem um “penalty” são,  respectivamente:
2/3;  4/5  e  7/10. Se cada um “cobrar” apenas uma vez,  qual a probabilidade de:
a)  todos acertarem?    b)  apenas um acertar?    c)  todos errarem?


P11 — Três parafusos e três porcas estão numa caixa.
Se duas peças forem retiradas ao acaso da caixa, qual a probabilidade de:
uma ser um parafuso e a outra ser uma porca?


P12 — As chances de um time de futebol  "A"  ganhar o campeonato o é de  "7  para  2".
Determine a probabilidade de  "A"  ganhar e a probabilidade de  "A"  perder.


P13 — De um baralho de 52 cartas retiram-se,  ao acaso,  duas cartas sem reposição.
Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o  ÁS de paus e a segunda ser o  REI de paus?


P14 — Suponha que numa turma há  6 moças  e  10 rapazes.
Se uma comissão de  3 pessoas é escolhida aleatoriamente,
qual a probabilidade de serem selecionados:
a)  3 rapazes;
b)  exatamente dois rapazes;
c)  pelo menos um rapaz;
d)  exatamente duas moças.


P15 — Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres.
Três pessoas são selecionadas ao acaso e sem reposição.
Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam do sexo masculino?


P16 — Dois dados são lançados, sejam os eventos:
A  =  {(x,  y);  x  +  y  =  8};  B  =  {(x,  y);  x  =  y};  C  =  {(x,  y);  x  +  y  =  10};
D  =  {(x,  y);  x  >  y}  e  E  =  {(x,  y);  x  =  2y}.  Calcule:
a)  P(A|B)    b)  P(C|D)    c)  P(D|E)    d)  P(A|C)    e)  P(C|E)


P17 — Três máquinas,  A,  B  e  C  produzem respectivamente:
40%,  50%  e  10%  do total de peças de uma fábrica.
As percentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são  3%,  5%  e  2%.
Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa.
Qual a probabilidade de que ela tenha vindo da máquina  B?


P18 — Um grupo de 15 pessoas,  dispostas da seguinte forma:
10  homens,  sendo  5 menores de idade  e  5  mulheres,  sendo  3 menores.
Um elemento é escolhido ao acaso.  Pergunta-se:
a)  qual a probabilidade de ser homem?
b)  qual a probabilidade de ser adulto?
c)  sabendo que o escolhido foi homem,  qual a probabilidade de ser adulto?


P19 —  O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados.
Em cada quadrado há a indicação de um número,  representado por uma certa quantidade de bolinhas,
que variam de nenhuma a seis.  O número total de combinações possíveis é de 28  peças.
Se pegarmos uma peça qualquer,  qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?


P20 — Em uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes,
25% de todos os carros testados emitem quantidades excessivas de poluentes.
No entanto,  o teste não é perfeito e pode indicar resultados errados.
Desta forma,  carros que emitem excesso de poluentes podem não ser detectados pelo teste e,
carros que não emitem excesso de poluentes podem ser considerados erroneamente fora do padrão de emissão.
Quando efetivamente testados,  99% dos carros fora do padrão são detectados,  e,
17%  dos carros em bom estado são considerados fora do padrão por erro do teste.
Qual é a probabilidade de que um carro reprovado pelo teste emita realmente excesso de poluentes?


P21 — Duas bolas são retiradas ( com reposição ) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas.
Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta?


Exercícios com resposta

P22 — Tenho 79 vezes para sair um número de 0 a 9. Escolho o número (5)
a)  Número 5,  qual a probabilidade dele  “NÃO”  sair em 79 vezes?
b)  Número 5,  qual a probabilidade dele  “SIM”  sair em 79 vezes?

O espaço amostral é  S  =  {0,  1,  2,  3,  .  .  . ,  9}
Potanto,  n(S)  =  10.
A probabilidade de sair o número  5  é a mesma de qualquer outro,  ou seja,
P({sair o  5})  =  1/10
A probabilidade de NÃO sair o número  5  é a mesma de qualquer outro,  ou seja,
P({não sair o  5})  =  1  –  1/2  =  9/10

a) A probabilidade do  5  não sair nas 79 vezes é calculada pela expressão:
não sair na 1ª,  e,  não sair na 2ª,  e,  na 3ª,  etc.  (até 79)

9/109/109/10 ⋅  .  .  .  ⋅ 9/10  =  (9/10)79

b) A probablidade do  5  sair uma única vez em 79 vezes é calculada pela expressão:
SAIR na 1ª,  e,  não sair na 2ª,  e,  não sair na 3ª,  e,  na 4ª,  .  .  .  (até 79)

1/109/109/10 ⋅  .  .  .  ⋅ 9/10  =  1/10 ⋅ (9/10)78

Se a posição não importar essa será a resposta,  mas se ela tiver importância,
teria que ser feito para a 1ª posição,  para a 2ª,  etc.
Todas dariam o mesmo resultado,  bastando apenas somá-las,  o que daria:
79 ⋅ 1/10 ⋅ (9/10)78


Caso 2

Tenho 41 vezes para sair um número de 0 a 9. Agora escolho 02 números 8 e 9.
a) Número 8 ou 9, qual a probabilidade de ele “NÃO” sair em 41 vezes?
b) Número 8 ou 9, qual a probabilidade de ele “SIM” sair em 41 vezes?
(Sair uma única vez o número 08 ou 09 em 41 vezes)
O que mais vantajoso?

A probabilidade de sair o 8,  9,  ou  5,  e,  a mesma.
A diferença aqui é o  "ou"  que neste caso se faz a soma.

a) A probabilidade do  8  não sair nas 41 vezes é calculada pela expressão:
não sair na 1ª,  e,  não sair na 2ª,  e,  na 3ª,  etc.  (até 41)
9/109/109/10 ⋅  .  .  .  ⋅ 9/10  =  (9/10)41
Que é a mesma para o 9,  assim,  somar duas parcelas iguais é DUAS vezes o mesmo resultado.
2 ⋅ (9/10)41

b) Da mesma forma que a o item b anterior,  só que somados:
(1/109/109/10 ⋅  .  .  .  ⋅ 9/10)  +  (1/109/109/10 ⋅  .  .  .  ⋅ 9/10)  =  2 ⋅ 1/10 ⋅ (9/10)40


Mega-Sena

Na mega-sena,  escolhe-se  6 dezenas dentre  60.

Assim,  o número de elementos do espaço amostral é:
C60, 6  =  (60 ⋅ 59 ⋅ 58 ⋅ 57 ⋅ 56 ⋅ 55)  /  (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1)   (combinação de 60,  6 a 6)
C60, 6  =  50063860

Jogar um cartão simples de  6 dezenas,  tem como número de elementos do evento:
C6, 6  =  C6, 0  =  1

A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal.
P(E)  =  figura


Se for jogar  7 dezenas,  num mesmo cartão simples de  6 dezenas,
o número de elementos do evento é  7. 
C7, 6  =  C7, 1  =  7   (combinação de  7,  1 a 1).

Mas,  como só é sorteado  6 dezenas,  o espaço amostral é:
o mesmo para as 6 dezenas.
P(E)  =  figura
Simplificando a fração por  7,  tem-se:
P(E)  =  figura

Esta mesma situação para  8 dezenas.
C8, 6  =  C8, 2  =  28   (combinação de  8,  2 a 2).
O nº de elementos do evento é  28.

A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal.
P(E)  =  figura
Simplificando a fração por  28,  tem-se:
P(E)  =  figura